Question

14．如圖，動(dòng)點(diǎn)P沿著半徑為1的單位圓繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，線段OP在x軸的投影為OA．
（1）寫(xiě)出三角形OAP的面積y與動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)α等于多少時(shí)，y的值最大？
（3）寫(xiě)出y為最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（提示：求y=-2x²+x的最小值，令m=x²，則：y=-2m+m²，當(dāng)m=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2}{2}$=1時(shí)，y_min=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-4}{4}$=-1，此時(shí)，x=±1）

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則OA=|x|，則利用勾股定理表述計(jì)算出PA=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，利用三角形面積公式得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$•|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$（-1≤x≤1）；
（2）利用不等式公式得到|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+（\sqrt{1-{x}^{2}}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，則y≤$\frac{1}{4}$，由于當(dāng)且僅當(dāng)|x|=$\sqrt{1-{x}^{2}}$時(shí)等號(hào)成立，解關(guān)于x的方程得到x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)y的值最大，利用特殊角的三角函數(shù)值可得OP與x軸的正方向的夾角為45°或135°；
（3）分類(lèi)討論：當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為45°時(shí)，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為135°時(shí)，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則OA=|x|，
在Rt△OAP中，PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
所以y=$\frac{1}{2}$•|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$（-1≤x≤1）；
（2）∵|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+（\sqrt{1-{x}^{2}}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴y≤$\frac{1}{4}$，
∵當(dāng)且僅當(dāng)|x|=$\sqrt{1-{x}^{2}}$時(shí)等號(hào)成立，
∴x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，y的值最大，
此時(shí)OP與x軸的正方向的夾角為45°或135°；
即α=45°或135°時(shí)，y的值最大；
（3）當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為45°時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為135°時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)應(yīng)用不等式公式ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$（a、b為正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．