Question

20．如圖，△ABC中，∠C=90°．
（1）在BC邊上作一點P，使得點P到點C的距離與點P到邊AB的距離相等（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，若AC=8，BC=6，求CP的長．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分線交BC于P點，則點P到點C的距離與點P到邊AB的距離相等；
（2）作PD⊥AB于點，如圖，根據角平分線性質得PD=PC，則可證明Rt△ADP≌Rt△ACP得到AD=AC=8，再利用勾股定理計算出AB=10，則BD=2，設PC=x，則PD=x，BP=6-x，在Rt△BDP中，利于勾股定理得（6-x）²=x²+2²，然后解方程即可．

解答 解：（1）如圖，點P即為所求；
（2）作PD⊥AB于點，如圖，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，
∴PD=PC．
在Rt△ADP和Rt△ACP中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴AD=AC=8，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴BD=10-8=2，
設PC=x，則PD=x，BP=6-x，
在Rt△BDP中，∵PD²+BD²=PB²，
∴（6-x）²=x²+2²，解得x=$\frac{8}{3}$．
答：CP的長為$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質和勾股定理．