Question

12．如圖，在四邊形ABCD中，AD平行且等于BC，AB平行且等于DC，AD⊥AB，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點．
（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；
（2）若△AEP是等邊三角形，連結BP，求證：△APB≌△EPC；
（3）若四邊形ABCD的邊AB=6，BC=4，求△APB的面積．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質，結合直角三角形的性質可證明AF∥EC，則可證明四邊形AECF為平行四邊形；
（2）由等邊三角形的性質可求得∠BAP=60°且PA=PE，再由折疊的性質可求得∠BEC=∠PEC=60°，則可證明△APB≌△EPC；
（3）利用Rt△EBC的面積可求得BQ，再由折疊的性質可求得BP，在Rt△ABP中，由勾股定理可求得AP，則可求得其面積．

解答 （1）證明：
由折疊得到BE=PE，EC⊥PB，又E為AB中點，
∴AE=PE=EB，
∴∠APB=90°，
即BP⊥AF，
∴AF∥EC，
∴四邊形AECF為平行四邊形；
（2）證明：
∵△AEP是等邊三角形，
∴∠AEP=60°，AP=PE，
由折疊可得∠PEC=PAB=60°，
在Rt△ABP和Rt△EBC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠EPC}\\{AP=EP}\\{∠BAP=∠CEP}\end{array}\right.$
∴Rt△ABP≌Rt△EBC（ASA）；
（3）解：
∵AB=6，
∴EB=3，
在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，EC=5，
∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$EB•BC=$\frac{1}{2}$EC•BQ，
∴BQ=$\frac{12}{5}$，
∴BP=2BQ=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABP中，AB=6，BP=$\frac{24}{5}$，
由勾股定理得AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$AP•BP=$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{216}{25}$．

點評 本題為四邊形的綜合應用，涉及平行四邊形的判定和性質、折疊的性質、全等三角形的判定、等邊三角形的性質、勾股定理及三角形的面積等知識．在（1）中證得BP⊥AF是解題的關鍵，在（2）中注意全等三角形的判定方法，在（3）中求得BP的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，但難度不大．