Question

3．如圖，直線OC、BC的函數關系式分別是y₁=x和y₂=-2x+6，動點P（x，0）在OB上運動（0＜x＜3），過點P作直線m與x軸垂直．
（1）求點B、點C的坐標，并求△COB的面積．
（2）當x取何值時y₁=y₂；當x取何值時y₁＞y₂．
（3）當x為1時，直線m交OC于Q點，求△OPQ的面積．
（4）設△COB中位于直線m左側部分的面積為s，求出s與x之間函數關系式．

Answer 1

分析 （1）根據線OC、BC的函數關系式分別是y₁=x和y₂=-2x+6，即可求得點B、點C的坐標，和△COB的面積；
（2）當y₁=y₂時，x=-2x+6；當y₁＞y₂時，x＞-2x+6，分別解方程和不等式即可得出x的取值情況；
（3）當x為1時，y₁=x=1，進而得到Q（1，1），P（1，0），據此求得△OPQ的面積即可；
（4）有兩種情況：①當0＜x≤2，此時直線m左側部分是△PQO，由于P（x，0）在OB上運動，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s與x之間函數關系式即可求出；②當2＜x＜3，此時直線m左側部分是四邊形OPQC，可運用割補法進行計算求解．

解答 解：（1）在直線y₂=-2x+6中，令y=0，則x=3，
∴B（3，0），即OB=3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C點坐標為（2，2），
∴△COB的面積=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（2）當y₁=y₂時，x=-2x+6，
解得x=2，
當y₁＞y₂時，x＞-2x+6，
解得x＞2，
故當x取2時y₁=y₂；當x＞2時，y₁＞y₂；

（3）當x為1時，y₁=x=1，
∴Q（1，1），P（1，0），
∴△OPQ的面積=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；

（4）分兩種情況：
①如圖所示，當0＜x≤2時，則可得OP=x，EP=x，

此時s=$\frac{1}{2}$OP×PE=$\frac{1}{2}$x²；

②如圖所示，當2＜x＜3時，過點C作CF⊥x軸于F，則CF=2=OF，EP=-2x+6，PF=x-2，

∴S_△OCF=$\frac{1}{2}$OF×CF=2，
S_梯形EPFC=$\frac{1}{2}$（EP+CF）×FP=$\frac{1}{2}$（-2x+6+2）×（x-2）=-x²+6x-8．
∴S=S_△OCF+S_梯形EPFC=2+（-x²+6x-8）=-x²+6x-6，
綜上所述，S與x的函數關系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤2）}\\{-{x}^{2}+6x-6（2＜x＜3）}\end{array}\right.$．

點評 此題屬于三角形綜合題，主要考查平面直角坐標系中圖形的面積的求法以及一次函數的應用．解答此題的關鍵是根據一次函數的特點，分別求出各點的坐標再得出線段的長．解題的難點在第（4）問，關鍵是根據點C的坐標，分段求出s與x的關系式．解題時注意分類思想和數形結合思想的運用．