Question

8．已知半徑為4的圓內(nèi)接正n邊形的邊心距為2$\sqrt{2}$，則n=4．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)求出∠AOD=45°，再根據(jù)等腰三角形三線合一得：∠AOB=90°，即中心角為90°，利用周角計算邊的數(shù)：n=360÷90=4．

解答 解：如圖所示，半徑OA=OB=4，邊心距OD⊥AB，且OD=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AOD中，cos∠AOD=$\frac{OD}{AO}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠BOD=∠AOD=45°，
∴∠AOB=90°，
∴n=$\frac{360°}{90°}$=4；
故答案為：4．

點評 本題考查了正多邊形和圓的定義，明確正n邊形的外接圓半徑與邊構(gòu)成n個等腰三角形，其邊心距就是等腰三角形底邊上的高，利用勾股定理或三角函數(shù)可計算邊或角的值．