Question

13．如圖，已知在直角坐標系中，點P是直線y=-x+4上的一個動點，⊙O的半徑為1，過點P作⊙O的切線，切點為A，則PA長度的最小值為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 連接OA、OP，由切線性質可知OA⊥PA，且OA=1，則當OP最小時，PA最小，故當OP與直線y=-x+4垂直時，PA最小，再利用等腰直角三角形的性質可求得OP的值，可求得答案．

解答 解：
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，且OA=1，
∴當OP最小時，PA最小，
∴當OP與直線y=-x+4垂直時，OP最小，
如圖，設直線y=-x+4交x軸、y軸于點B、C，
則B（4，0），C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴BC=4$\sqrt{2}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，即OP的最小值為2$\sqrt{2}$，
∴PA的最小值=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故答案為：$\sqrt{7}$．

點評 本題主要考查切線的性質，掌握過切點的半徑與切線垂直是解題的關鍵，用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．