Question

P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B點，若∠APB=2α，⊙O的半徑為R，則AB的長為（　　）

• A．

  Rsinα

  tanα

• B．

  Rtanα

  sinα

• C．

  2Rsinα

  tanα

• D．

  2Rtanα

  sinα

Answer 1

分析：由PA與PB為圓O的兩條切線，利用切線長定理得到PA=PB，PA與OA垂直，PB與OB垂直，利用HL證明Rt△AOP≌△BOP，利用全等三角形的對應角相等得到∠APO=∠BPO，再由∠APB=2α，得到∠APO=∠BPO=α，在Rt△AOP中，利用正切函數定義及OA=R表示出AP，利用三線合一得到Q為AB的中點，OP與AB垂直，在Rt△APQ中，利用正弦函數公式表示出AQ，由AB=2AQ即可表示出AB，得到正確的選項．

解答：解：∵PA、PB分別切⊙O于A、B點，
∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，
在Rt△AOP和△BOP中，

PA=PB OP=OP

，
∴Rt△AOP≌△BOP（HL），又∠APB=2α，
∴∠APO=∠BPO=α，∠AOP=∠BOP，
∵OA=OB，
∴OP⊥AB，AQ=BQ，
在Rt△AOP中，OA=R，∠APO=α，
∴tanα=

OA

AP

，即AP=

R

tanα

，
在Rt△AQP中，∠APO=α，AP=

R

tanα

，
∴sinα=

AQ

AP

，即AQ=

Rsinα

tanα

，
則AB=2AQ=

2Rsinα

tanα

．
故選C．

點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，銳角三角函數定義，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．