Question

已知，如圖，點P為⊙O外一點，PA與⊙O相切于A點，B為⊙O上一點，PA=PB=

3

，∠APB=60°．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）證明△OPA≌△OPB即可得到∠OBA=∠OAB=90°，所以PB是⊙O的切線；
（2）根據已知條件解直角三角形APO即可求出AO的長；
（3）設PO交圓于C，然后求出△PAO扇形AOC的面積，由S_陰影=2×（S_△PAO-S_扇形AOC）則可求得結果．

解答：（1）證明：∵PA與⊙O相切于A點，
∴∠PAO=90°，
∵在△OPA和△OPB中，

AO=BO PO=PO PA=PB

，
∴△OPA≌△OPB（SSS），
∴∠OBA=∠OAB=90°，
∴PB是⊙O的切線；

（2）∵PA與⊙O相切于A點，PB且⊙O于B，
∴∠APO=∠BPO=

1

2

∠APB=30°，
∵PA=PB=

3

，
∴AO=

3

×

3

3

=1；
∴求⊙O的半徑是1；
（3）設PO交圓于C，
則S_陰影=2×（S_△PAO-S_扇形AOC）=2×（

1

2

×1×

3

-

60×π×1

360

）=

3

-

1

3

π．

點評：此題考查了切線長定理，直角三角形的性質，扇形面積公式等知識．此題難度不大，注意數形結合思想的應用．