Question

12．如圖，扇形OAB的圓心角的度數為120°，半徑長為4，P為弧AB上的動點，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N，D是△PMN的外心．當點P運動的過程中，點M、N分別在半徑上作相應運動，從點N離開點O時起，到點M到達點O時止，點D運動的路徑長為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$π
• B． π
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據題意畫出點N離開點O時，到點M到達點O時的圖形，得到點D運動的軌跡，根據弧長公式計算即可．

解答 解：當點N與點O重合時，∠P′OA=30°，OD=$\frac{1}{2}$OP′=2，
當點M與點O重合時，∠P′′OB=30°，OD=$\frac{1}{2}$OP′′=2，
∵D是△PMN的外心，
∴點D在線段PM的垂直平分線上，又PM⊥OA，
∴D為OP的中點，即OD=$\frac{1}{2}$OP=2，
∴點D運動的軌跡是以點O為圓心，2為半徑，圓心角為60°的弧，
弧長為：$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2π}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查的是弧長的計算，掌握弧長的計算公式l=$\frac{nπr}{180}$、根據題意確定點D的運動軌跡是解題的關鍵．