Question

14．在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2分別與x軸，y軸交于A、B兩點，過點C（1，0）的直線l∥AB．
（1）請直接寫出A、B兩點的坐標；并求AB的長度；
（2）求直線l的函數關系式；
（3）已知：動點P在線段BC 上，AD⊥AP交直線l于D點．連結DP，試探索：在P點的運動過程中，∠ADP的大小是否會發生變化？為什么？

Answer 1

分析 （1）在y=$\frac{1}{2}$x+2中分別令y=0和x=0，則可求得相應的A、B的坐標，根據勾股定理可求得AB的長度；
（2）由平行線的特征可設直線l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，把點C坐標代入可求得k的值，則可求得直線l的解析式；
（3）∠ADP的大小不發生變化．如圖，延長AO交直線l于G．利用相似三角形的判定和性質想辦法證明△AOD∽△POC，即可推出∠ADP=∠PCO，延長即可解決問題．

解答 解：（1）對于直線y=$\frac{1}{2}$x+2，令x=0得y=2，令y=0得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（2）∵直線l∥AB，
∴可以假設直線l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，把點C坐標代入得到b=-$\frac{1}{2}$，
∴直線l的函數關系式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．

（3）∠ADP的大小不發生變化．理由如下，
如圖，延長AO交直線l于G．

∵B（0，2），C（1，0），
∴直線BC的解析式為y=-2x+2，
∵直線l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∵-2×$\frac{1}{2}$=-1，
∴BC⊥直線l，
∴∠PCG=90°，
∵PA⊥AD，
∴∠GAD=∠GCP=90°，∵∠PGC=∠AGD，
∴△PGC∽△DGA，
∴$\frac{PG}{GD}$=$\frac{GC}{GA}$，
∴$\frac{PG}{GC}$=$\frac{GD}{GA}$，∵∠PGD=∠CGA，
∴△GPD∽△GCA，
∴∠PAO=∠CDO，∵∠AOP=∠DOC，
∴∠△AOP∽△DOC，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{OP}{OC}$，
∴$\frac{AO}{OP}$=$\frac{DO}{OC}$，∵∠AOD=∠POC，
∴△AOD∽△POC，
∴∠ADP=∠PCO，
∵∠PCO是定值，
∴∠ADP是定值，大小不變．

點評 本題考查一次函數的應用、兩直線平行的條件、兩直線垂直的條件、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活應用相似三角形的判定和性質解決問題，屬于中考壓軸題．