Question

3．已知AB為⊙O的直徑，OC⊥AB，弦DC與OB交于點F，在直線AB上有一點F，連接ED，且有ED=EF．
（1）如圖1，求證：ED為⊙O的切線；
（2）如圖2，直線ED與切線AG相交于G，且OF=2，⊙O的半徑為6，求AG的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由對頂角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，結合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此證出ED為⊙O的切線；
（2）連接OD，過點D作DM⊥BA于點M，結合（1）的結論根據勾股定理可求出ED、EO的長度，結合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的長度，根據切線的性質可知GA⊥EA，從而得出DM∥GA，根據相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根據相似三角形的性質即可得出GA的長度

解答 （1）證明：連接OD，
∵ED=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠EDF=∠CFO．
∵OD=OC，
∴∠ODF=∠OCF．
∵OC⊥AB，
∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，
∴ED為⊙O的切線；
（2）解：連接OD，過點D作DM⊥BA于點M，
由（1）可知△EDO為直角三角形，設ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，
由勾股定理得，EO²=ED²+DO²，即（a+2）²=a²+6²，
解得，a=8，即ED=8，EO=10．
∵sin∠EOD=$\frac{ED}{EO}$=$\frac{4}{5}$，cos∠EOD=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{3}{5}$，
∴DM=OD•sin∠EOD=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，MO=OD•cos∠EOD=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∴EM=EO-MO=10-$\frac{18}{5}$=$\frac{32}{5}$，EA=EO+OA=10+6=16．
∵GA切⊙O于點A，
∴GA⊥EA，
∴DM∥GA，
∴△EDM∽△EGA，
∴$\frac{DM}{GA}$=$\frac{EM}{EA}$，即$\frac{\frac{24}{5}}{GA}$=$\frac{\frac{32}{5}}{16}$，
解得，GA=12．

點評 本題考查的是切線的判定、垂徑定理和勾股定理的應用、等腰三角形的性質、角的三角函數值、相似三角形的判定及性質，解題的關鍵是：（1）通過等腰三角形的性質找出∠EDO=90°；（2）通過相似三角形的性質找出相似比．