Question

3．在平面直角坐標系中，點C沿著某條路徑運動，以點C為旋轉中心，將點A（0，4）逆時針旋轉90°到點B（m，1），若-5≤m≤5，則點C運動的路徑長為5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在平面直角坐標系中，在y軸上取點P（0，1），過P作直線l∥x軸，作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，構造Rt△BCN≌Rt△ACM，得出CN=CM，若連接CP，則點C在∠BPO的平分線上，進而得出動點C在直線CP上運動；再分兩種情況討論C的路徑端點坐標：①當m=-5時，②當m=5時，分別求得C（-1，0）和C₁（4，5），而C的運動路徑長就是CC₁的長，最后由勾股定理可得CC₁的長度．

解答 解：如圖1所示，在y軸上取點P（0，1），過P作直線l∥x軸，

∵B（m，1），
∴B在直線l上，
∵C為旋轉中心，旋轉角為90°，
∴BC=AC，∠ACB=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠1=∠2，
作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，則Rt△BCN≌Rt△ACM，
∴CN=CM，
若連接CP，則點C在∠BPO的平分線上，
∴動點C在直線CP上運動；
如圖2所示，∵B（m，1）且-5≤m≤5，
∴分兩種情況討論C的路徑端點坐標，

①當m=-5時，B（-5，1），PB=5，
作CM⊥y軸于M，作CN⊥l于N，
同理可得△BCN≌△ACM，
∴CM=CN，BN=AM，
可設PN=PM=CN=CM=a，
∵P（0，1），A（0，4），
∴AP=3，AM=BN=3+a，
∴PB=a+3+a=5，
∴a=1，
∴C（-1，0）；
②當m=5時，B（5，1），如圖2中的B₁，此時的動點C是圖2中的C₁，
同理可得C₁（4，5），
∴C的運動路徑長就是CC₁的長，
由勾股定理可得，CC₁=$\sqrt{[4-（-1）]^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{50}$=5$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了旋轉圖形的坐標、全等三角形的判定與性質以及軌跡的運用，解題時注意：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質，求出旋轉后的點的坐標．