Question

8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），分別以AB、BC為邊作等邊三角形ABE和等邊三角形BCD，連結CE，如圖1所示．
（1）直接寫出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）判斷DC與CE的位置關系，并加以證明；
（3）在（2）的條件下，連結DE，如圖2，若∠DEC=45°，求α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}（{180°-∠α}）$=90°-$\frac{1}{2}$∠α，根據(jù)角的和差即可得到結論；
（2）連接AD；根據(jù)已知條件得到∠ABD=∠EBC，推出△ABD≌△EBC，根據(jù)全等三角形的性質得到∠ADB=∠ECB，證得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性質得到∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠α，根據(jù)三角形的內角和得到∠BDA=180°-∠ABD-∠BAD=180°-（30°-$\frac{1}{2}$∠α ）-$\frac{1}{2}$∠α=150°，求得∠BCE=150°，即可得到結論．
（3）根據(jù)已知條件得到△DEC為等腰三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到DC=DE=BC，根據(jù)三角形的內角和得到∠EBC=15°，即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠A=∠α，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}（{180°-∠α}）$
=90°-$\frac{1}{2}$∠α
∴∠ABD=∠ABC-∠ABE
=90°-$\frac{1}{2}$∠α-60°
=30°-$\frac{1}{2}$∠α；

（2）DC與CE垂直；
連接AD；
∵∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABE-∠DBE=∠DBC-∠DBE，
即∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=BE\\∠ABD=∠EBC\\ BD=BC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC，
∴∠ADB=∠ECB，
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠α，
∴∠BDA=180°-∠ABD-∠BAD=180°-（30°-$\frac{1}{2}$∠α ）-$\frac{1}{2}$∠α=150°，
∴∠BCE=150°，
∵∠BCD=60°，
∴∠DCE=90°，
即DC與CE垂直；

（3）∵∠DCE=90°，
又∵∠DEC=45°，
∴△DEC為等腰三角形，
∴DC=CE=BC，
∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=15°，
∵∠EBC=30°-$\frac{1}{2}$∠α=15°，
∴∠α=30°．

點評 本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形的內角和，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．