Question

5．如圖，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點O是BC的中點，如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，并在移動過程中始終保持AN=BM．
（1）求證：△ANO≌△BMO；
（2）求證：OM⊥ON．

Answer 1

分析 （1）根據SAS證明△AON≌△BOM即可；
（2）根據全等三角形的性質和垂直的定義證明即可．

解答 證明：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點，
∴OA⊥BC，OA=OB=OC，
∴∠NAO=∠B=45°，
在△AON與△BOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=BM}\\{∠NAO=∠B}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△BOM；
（2）∵△AON≌△BOM，
∴∠NOA=∠MOB，
∵AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，
即∠MOB+∠AOM=90°．
∴∠NOM=∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM=90°，
∴OM⊥ON．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質；熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．