Question

13．如圖①，四邊形OACB為長方形，A（-6，0），B（0，4），直線l為函數y=-2x-5的圖象．
（1）點C的坐標為（-6，4）；
（2）若點P在直線l上，△APB為等腰直角三角形，∠APB=90°，求點P的坐標；
小明的思考過程如下：
第一步：添加輔助線，如圖②，過點P作MN∥x軸，與y軸交于點N，與AC的延長線交于點M；
第二步：證明△MPA≌△NBP；
第三步：設NB=m，列出關于m的方程，進而求得點P的坐標．
請你根據小明的思考過程，寫出第二步和第三步的完整解答過程；
（3）若點P在直線l上，點Q在線段AC上（不與點A重合），△QPB為等腰直角三角形，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質可以求得．
（2）由△MPA≌△NBP列出方程即可求解．
（3）分三種情形討論①∠PBQ=90°，利用圖1中△PMB≌△BNQ即可求出．
②∠BPQ=90°，利用圖2中△PMB≌△CNP即可求出．
③∠PQB=90°，利用圖3中△PNQ≌△BMQ即可求出．

解答 解：（1）∵四邊形AOBC是矩形，
∴AO=CO=6，AC=BO=4，
∴點C的坐標為（-6，4）．
故答案為C（-6，4）．
（2）根據題意得：∠AMP=∠PNB=90°，
∵△APB為等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠APB=90°，
∵∠APB=∠AMP=90°，
∴∠NPB+∠MPA=∠MPA+∠MAP=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
在△MPA和△NBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAP=∠NPB}\\{∠AMP=∠PNB}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△MPA≌△NBP（AAS），
∴AM=PN，MP=NB，
設NB=m，則MP=m，PN=MN-MP=6-m，AM=4+m，
∵AM=PN，
∴4+m=6-m，
解得：m=1，
∴點P的坐標為（-5，5）；
（3）設點Q的坐標為（-6，q），
分3種情況討論：
①當∠PBQ=90°時，如右圖，過點P作PM⊥y軸于點M，點Q作QN⊥y軸于點N，
∵∠QBN+∠PBM=90°，∠MPB+∠PBM=90°
∴∠QBN=∠MPB，∠PMB=∠QNB=90°
在△AQN和△PBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPB=∠QBN}\\{∠PMB=∠QNB}\\{AP=QB}\end{array}\right.$，
∴△PMB≌△BNQ，
∴MB=NQ=6，PM=BN=4-q，∴P（q-4，10），
代入y=-2x-5，解得：q=-3.5，
∴p（-7.5，10）．
此時點Q不在線段AC時，不合題意，舍棄．
②當∠BPQ=90°時，
若點P在BQ上方，即為（2）的情況，此時點Q與點A重合，由于題設中規定點Q不與點A重合，故此種情況舍去；
若點P在BQ下方，如右圖，過點P作PN⊥AC于點N，作PM⊥y軸于點M，
設BM=m，
∵∠APM+∠NPC=90°，∠NQB+∠NPQ=90°，
∴∠BPM=∠NQP，
在△APM和△QPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APM=∠NQP}\\{∠AMP=∠PNQ}\\{PA=PQ}\end{array}\right.$
∴△PMB≌△CNP，
∴PN=BM=m，
∴PM=6-m，
∴P（m-6，4-m），
把P坐標代入y=-2x-5，得4-m=-2m+12-5，
解得：m=3
此時點P的坐標為（-3，1）；
③當∠PQB=90°時如右圖，過點Q作QM⊥y軸于點M，過點P作PN⊥AC垂足為N，
設BM=m，
∵∠PQB=∠MQN=90°，
∴∠PQN=∠MQB，
在△PQN和△BQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PQN=∠BQM}\\{∠PNQ=∠BMQ}\\{PQ=QB}\end{array}\right.$，
∴△PNQ≌△BMQ，
∴QN=QM=6，MB=NP=m，
∴P（-6-m，10-m），
把P坐標代入y=-2x-5，得：10-m=12+2m-5，
解得：m=1，此時點P的坐標為（-7，9），
綜上所述，點P的坐標為（-3，1）或（-7，9）．

點評 本題考查矩形、一次函數、等腰直角三角形、全等三角形的判定和性質等有關知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵，學會用方程的思想解決問題．