Question

9．（1）如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD．若AC=2，BC=1，則△BCD的周長為3；
（2）O為正方形ABCD的中心，E為CD邊上一點，F為AD邊上一點，且△EDF的周長等于AD的長．
①在圖2中求作△EDF（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
②在圖3中補全圖形，求∠EOF的度數；
③若$\frac{AF}{CE}=\frac{8}{9}$，則$\frac{OF}{OE}$的值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由線段垂直平分線的性質得出BD=AD，得出△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC，即可得出結果；
（2）①在AD上截取AH=DE，再作EH的垂直平分線，交AD于F，△EDF即為所求；
②連接OA、OD、OH，由正方形的性質得出∠1=∠2=45°，由SAS證明△ODE≌△OAH，得出∠DOE=∠AOH，OE=OH，得出∠EOH=90°，證出EF=HF，由SSS證明△EOF≌△HOF，得出∠EOF=∠HOF=45°即可；
③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，設AF=8t，則CE=9t，設OG=m，由正方形的性質得出GE=CE-CG=9t-m，DE=2CG-CE=2m-9t，FK=AF-KA=8t-m，DF=2DK-AF=2m-8t，由HL證明Rt△EOG≌Rt△HOK，得出GE=KH，因此EF=GE+FK=17t-2m，由勾股定理得出方程，解方程求出m=6t，得出OG=OK=6t，GE=9t-m=9t-6t=3t，FK=8t-m=2t，由勾股定理即可得出結果．

解答 解：（1）∵AB的垂直平分線交AC于點D，
∴BD=AD，
∴△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC=1+2=3，
故答案為：3； 
（2）①如圖1所示：
△EDF即為所求； 
②如圖2所示：AH=DE，
連接OA、OD、OH，
∵點O為正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠1=∠2=45°，
在△ODE和△OAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠2=∠1}\\{AH=DE}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OAH（SAS），
∴∠DOE=∠AOH，OE=OH，
∴∠EOH=90°，
∵△EDF的周長等于AD的長，
∴EF=HF，
在△EOF和△HOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OH}\\{OF=OF}\\{EF=HF}\end{array}\right.$，
∴△EOF≌△HOF（SSS），
∴∠EOF=∠HOF=45°；
③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，如圖3所示：
設AF=8t，則CE=9t，設OG=m，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴四邊形OGDK為正方形，CG=DG=DK=KA=$\frac{1}{2}$AB=OG，
∴GE=CE-CG=9t-m，DE=2CG-CE=2m-9t，FK=AF-KA=8t-m，DF=2DK-AF=2m-8t，
由（2）②知△EOF≌△HOF，
∴OE=OH，EF=FH，
在Rt△EOG和Rt△HOK中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OH}\\{OG=OK}\end{array}\right.$，
∴Rt△EOG≌Rt△HOK（HL），
∴GE=KH，
∴EF=GE+FK=9t-m+8t-m=17t-2m，
由勾股定理得：DE²+DF²=EF²，
∴（2m-9t）²+（2m-8t）²=（17t-2m）²，
整理得：（m+6t）（m-6t）=0，
∴m=6t，
∴OG=OK=6t，GE=9t-m=9t-6t=3t，FK=8t-m=2t，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{\sqrt{O{K}^{2}+F{K}^{2}}}{\sqrt{O{G}^{2}+G{E}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{36{t}^{2}+4{t}^{2}}}{\sqrt{36{t}^{2}+9{t}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{40}{45}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理、解方程等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．