Question

19．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，E是OC上任意一點，AG⊥BE于點G，交BD于點F．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，求證：AF=BE；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AG⊥BE，交EB的延長線于點G，AG、DB的延長線交于點F，判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)四邊形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，所以∠FAO+∠AFO=90°，根據(jù)AG⊥BE，得到∠EAG+∠BEA=90°，∠AFO=∠BEA，又因為∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=BO，
∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，
∴∠FAO=∠FBG，
在△AFO與△BFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{∠FAO=∠FBG}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△BFO，
∴AF=BE；

（2）結(jié)論：AF=$\sqrt{3}$BE．
理由：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°，
∴∠AFO=∠BEA，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$BE．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．