Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，若四邊形OABC的頂點分別為O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．當m的取值范圍是1≤m≤9時，在邊BC上總存在點P，使∠OPA=90°．

Answer 1

分析 由四邊形四個點的坐標易得OA=BC=5，BC∥OA，以OA為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點E、F，根據圓周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如圖1，作DG⊥EF于G，連DE，則DE=OD=2.5，DG=2，根據垂徑定理得EG=GF，接著利用勾股定理可計算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即點P在E點和F點時，滿足條件，此時，當$\left\{\begin{array}{l}{m-5≤4}\\{m≥1}\end{array}\right.$，即1≤m≤9時，邊BC上總存在這樣的點P，使∠OPA=90°．

解答 解：∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）．
∴OA=BC=5，BC∥OA，
以OA為直徑作⊙D，與直線BC分別交于點E、F，則∠OEA=∠OFA=90°，
如圖，作DG⊥EF于G，連DE，則DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，
∴EG=$\sqrt{D{E}^{2}-D{G}^{2}}$=1.5，
∴E（1，2），F（4，2），
∴當$\left\{\begin{array}{l}{m-5≤4}\\{m≥1}\end{array}\right.$，即1≤m≤9時，邊BC上總存在這樣的點P，使∠OPA=90°．
故答案為：1≤m≤9．

點評 本題考查了坐標與圖形的性質：熟練掌握勾股定理、圓周角定理和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．