Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）如圖一，點P是第一象限內此拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標；

（3）如圖二，設線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最小？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】代數幾何綜合題．

【分析】方法一：

（1）利用待定系數法即可求得；

（2）如答圖1，四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．求出△PBC面積的表達式，然后利用二次函數性質求出最值；

（3）如答圖2，DE為線段AC的垂直平分線，則點A、C關于直線DE對稱．連接AM，與DE交于點G，此時△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點G為所求．分別求出直線DE、AM的解析式，聯立后求出點G的坐標．

方法二：

（1）略．

（2）由于△ABC面積為定值，因此只需△BCP面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，利用水平底與鉛垂高乘積的一半可求出P點坐標．

（3）因為點A，C關于直線DE對稱，因此直線AM與直線DE的交點即為點G．聯立AM與DE的直線方程，可求出G點坐標．

【解答】方法一：

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點．

∴，解得，

∴這條拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2．

（2）設直線BC的解析式為：y=kx+b，將B（2，0）、C（0，2）代入得：

，解得，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．

如答圖1，連接BC．

四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．

設P（x，﹣x²+x+2），

過點P作PF∥y軸，交BC于點F，則F（x，﹣x+2）．

∴PF=（﹣x²+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x²+2x．

S_△PBC=S_△PFC+S_△PFB=PF（x_F﹣x_C）+PF（x_B﹣x_F）=PF（x_B﹣x_C）=PF

∴S_△PBC=﹣x²+2x=﹣（x﹣1）²+1

∴當x=1時，△PBC面積最大，即四邊形ABPC面積最大．此時P（1，2）．

∴當點P坐標為（1，2）時，四邊形ABPC的面積最大．

（3）存在．

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，

∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，

∴△AOC∽△ADE，

∴=，即=，解得AE=，

∴E（，0）．

∵DE為線段AC的垂直平分線，

∴點D為AC的中點，∴D（﹣，1）．

可求得直線DE的解析式為：y=﹣x+ ①．

∵y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，∴M（，）．

又A（﹣1，0），則可求得直線AM的解析式為：y=x+ ②．

∵DE為線段AC的垂直平分線，

∴點A、C關于直線DE對稱．

如答圖2，連接AM，與DE交于點G，

此時△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點G為所求．

聯立①②式，可求得交點G的坐標為（﹣，）．

∴在直線DE上存在一點G，使△CMG的周長最小，點G的坐標為（﹣，）．

方法二：

（1）略．

（2）連接BC，過點P作x軸垂線，交BC′于F，

當△BCP面積最大時，四邊形ABPC的面積最大．

∵B（2，0）、C（0，2），

∴lBC：y=﹣x+2，

設P（t，﹣t²+t+2），

∴F（t，﹣t+2），

S_△BCP=（P_Y﹣F_Y）（B_X﹣C_X）=（﹣t²+t+2+t﹣2）×2=﹣t²+2t，

∴當t=1時，S_△BCP有最大值，即四邊形ABPC的面積最大．

∴P（1，2）．

（3）∵DE為線段AC的垂直平分線，

∴點A是點C關于直線DE對稱，

∴GC=GA，

∴△CMG的周長最小時，M，G，A三點共線．

∵拋物線y=﹣x²+x+2，

∴M（，），A（﹣1，0），

∴l_MA：y=x+，

∵A（﹣1，0），C（0，2），

∴K_AC==2，

∵AC⊥DE，∴K_AC×K_DE=﹣1，K_DE=﹣，

∵點D為AC的中點，

∴D_x==﹣，D_Y==1，

∴D（﹣，1），

∴l_DE：y=﹣x+，

∴⇒，

∴G（﹣，）．

     

【點評】本題是二次函數綜合題，難度適中，綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求解析式、相似三角形、軸對稱﹣最短路線、圖形面積計算、最值等知識點．