Question

12．在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：對于⊙C及⊙C外一點P，M，N是⊙C上兩點，當∠MPN最大，稱∠MPN為點P關于⊙C的“視角”．直線l與⊙C相離，點Q在直線l上運動，當點Q關于⊙C的“視角”最大時，則稱這個最大的“視角”為直線l關于⊙C的“視角”．
（1）如圖，⊙O的半徑為1，
①已知點A（1，1），直接寫出點A關于⊙O的“視角”；已知直線y=2，直接寫出直線y=2關于⊙O的“視角”；
②若點B關于⊙O的“視角”為60°，直接寫出一個符合條件的B點坐標；
（2）⊙C的半徑為1，
①點C的坐標為（1，2），直線l：y=kx+b（k＞0）經過點D（-2$\sqrt{3}$+1，0），若直線l關于⊙C的“視角”為60°，求k的值；
②圓心C在x軸正半軸上運動，若直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$關于⊙C的“視角”大于120°，直接寫出圓心C的橫坐標x_C的取值范
圍．

Answer 1

分析 （1）①如圖1中，過點A作⊙O的切線，切點分別為E、F．點A關于⊙O的“視角”就是兩條切線的夾角．∠MPN就是直接寫出直線y=2關于⊙O的“視角”；②由①可知，點P關于⊙O的“視角”為60°，根據對稱性即可推出點B坐標．
（2）①對于⊙C外的點P，點P關于⊙C的“視角”為60°，則點P在以C為圓心，2為半徑的圓上．又直線l關于⊙C的“視角”為60°，此時，點P是直線l上與圓心C的距離最短的點，推出CP⊥直線l，則直線l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線，如圖所示．作CH⊥x軸于點H，想辦法求出點P坐標即可解決問題．②如圖2中，當⊙C與直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$相切時，設切點為P，連接PC則PC⊥AP，想辦法求出點C坐標，如圖3中，設直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$關于⊙C的“視角”為120°，求出此時的點C坐標，即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，過點A作⊙O的切線，切點分別為E、F．

∵A（1，1），⊙O的半徑為1，
∴四邊形AEOF是正方形，
∴點A關于⊙O的“視角”為∠EAF=90°，
設直線y=2與y軸的交點為P，過點P作⊙O的切線，切點分別為M、N．
在Rt△POM中，∵PO=2OM，
∴∠OPM=30°，同理∠OPA=30°，
∴∠MPN=60°，
∴直線y=2關于⊙O的“視角”為60°，
故答案分別為90°，60°．

②由①可知，點P關于⊙O的“視角”為60°，
∴B（0，2），根據對稱性點B得到坐標還可以為（2，0）或（-2，0）或（0，-2）（本題答案不唯一）

（2）解：①如圖1中，
∵直線l：y=kx+b（k＞0）經過點D（-2$\sqrt{3}$+1，0），
∴（-2$\sqrt{3}$+1）k+b=0，
∴b=2$\sqrt{3}$k-k，
∴直線l：y=kx+2$\sqrt{3}$k-k，
對于⊙C外的點P，點P關于⊙C的“視角”為60°，
則點P在以C為圓心，2為半徑的圓上．
又直線l關于⊙C的“視角”為60°，此時，點P是直線l上與圓心C的距離最短的點．
∴CP⊥直線l．
則直線l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線，如圖1所示．作CH⊥x軸于點H，

∴點H的坐標為（1，0），
∴DH=$2\sqrt{3}$．
∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，
可求得點P的坐標（-$\sqrt{3}$+1，3）．
∴3=（-$\sqrt{3}$+1）k+2$\sqrt{3}$k-k，
∴k=$\sqrt{3}$．

②如圖2中，當⊙C與直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$相切時，設切點為P，連接PC則PC⊥AP，

∵直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$與x軸的交點為A（-1，0），與y軸的交點為（0，$\sqrt{3}$），
∴tan∠BAO=$\frac{BC}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°，
∵PC⊥AP，
在Rt△APC中，PC=1，
∴AC=PC÷cos30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1，

如圖3中，設直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$關于⊙C的“視角”為120°，

作CP⊥AB于P，PE、PF是⊙C的切線，E、F是切點，則∠CPE=60°，PC=CE÷sin60°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△APC中，AC=PC÷sin60°=$\frac{4}{3}$，
∴OC=$\frac{4}{3}$-1=$\frac{1}{3}$，
∴直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$關于⊙C的“視角”大于120°時，圓心C的橫坐標x_C的取值范圍$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1＜x_C＜$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查圓綜合題、切線的性質、一次函數的應用、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，學會尋找特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．