Question

20．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．
已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
求證：AB=CD．
      分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證明AB=CD，必須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．
       現給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中兩種對原題進行證明．

（1）延長DE到F，使得EF=DE              
（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F     
（3）過點C作CF∥AB交DE的延長線于F．

Answer 1

分析 方法一：延長DE到F，使得EF=DE，連接BF．只要證明△DEC≌△FEB，即可解決問題．
方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F．先證明△CGE≌△BFE，再證明△ABF≌△DCG即可．
方法三：過點C作CF∥AB交DE的延長線于F．只要證明△ABE≌△FCE，即可解決問題．

解答 解：方法一：延長DE到F，使得EF=DE，連接BF．
在△DEC和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=FE}\\{∠1=∠2}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△FEB，
∴∠D=∠F，DC=FB，
∵∠BAE=∠D，
∴∠BAE=∠F，
∴BA=BF，
∴AB=CD．

方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F     
∵CG⊥DE，BF⊥DE，
∴∠CGE=∠BFE=90°，
在△CGE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CGE=∠BFE}\\{∠1=∠2}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△CGE≌△BFE，
∴BF=CG，
在△ABF和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠CDG}\\{∠BFA=∠CGD=90°}\\{BF=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DCG，
∴AB=CD．

方法三：過點C作CF∥AB交DE的延長線于F．
∵CF∥AB，
∴∠BAE=∠F，∠B=∠FCE，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠F}\\{∠B=∠FCE}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB=FC，
∵∠BAE=∠D，∠BAE=∠F，
∴∠D=∠F，
∴CF=CD，
∴AB=CD．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．