Question

1．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，CB
（1）求證：CE=CB；
（2）若DE=2，CD=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由切線性質(zhì)得：OC⊥CD，則OC∥AD，由平行線性質(zhì)和同圓半徑相等可證得：∠CAD=∠OAC，所以圓周角相等，則所對(duì)的弦相等，則CE=CB；
（2）證明△DEC∽△DCA，列比例式可求AD的長(zhǎng)，利用勾股定理求AC的長(zhǎng)，再證明△ADC∽△ACB，得AB的長(zhǎng)，所以半徑為$\frac{13}{4}$．

解答 （1）證明：如圖，連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠CAD=∠OAC
∴CE=CB；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠DEC=∠B，
∴△DEC∽△CBA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△CBA∽△DCA，
∴△DEC∽△DCA，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{AD}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{3}{AD}$，
∴AD=$\frac{9}{2}$，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{117}{4}}$，
∵△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AB，
∴$\frac{117}{4}$=$\frac{9}{2}$AB，
∴AB=$\frac{13}{2}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等性質(zhì)的應(yīng)用，圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，在圓中，常利用同圓的半徑相等，并根據(jù)等邊對(duì)等角證明兩角相等；因此做好本題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A中的性質(zhì)，另外還要知道在圓中常用的輔助線的作法：①連接半徑，②作弦心距等．