Question

如圖，二次函數的對稱軸是直線x=1，它與y軸交于點（0，3），與x軸交于點A、B，并且已知該二次函數有最小值y=-4．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）求點A與點B之間的距離；
（3）將該拋物線沿x軸平移幾個單位，可使平移后所得圖象經過坐標原點？并寫出平移后所得圖象與x軸的另一個交點的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出二次函數的頂點坐標即可利用頂點式求出二次函數解析式；
（2）利用二次函數圖象與x軸交點求法，y=0，求出x即可，再利用兩點距離公式求出即可；
（3）根據（2）中AB的長度，以及圖象經過原點，即可得出另一點的坐標．

解答：解：（1）∵二次函數的對稱軸是直線x=1，它與y軸交于點（0，3），該二次函數有最小值y=-4．
∴二次函數的頂點坐標為：（1，-4），
代入頂點式方程得：y=a（x-1）²-4，
將（0，3）代入上式得出：3=a（0-1）²-4，
解得：a=7，
∴二次函數的解析式為：y=7（x-1）²-4，

（2）∵二次函數圖象與x軸交于點A、B，
∴0=7（x-1）²-4，
解得：x₁=1+

2 7

7

，x₂=1-

2 7

7

；
∴AB=1+

2 7

7

-（1-

2 7

7

）=

4 7

7

；

（3）根據函數圖象與x軸的交點坐標即可得出，圖象向右平移1-

2 7

7

個單位長度或向左平移1+

2 7

7

個單位長度時，圖象過原點，
∴根據AB=1+

2 7

7

-（1-

2 7

7

）=

4 7

7

；
∴平移后所得圖象與x軸的另一個交點的坐標為：（-

4 7

7

，0）或（

4 7

7

，0）．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數解析式以及二次函數與x軸交點坐標求法和二次函數圖象的平移等知識，此題比較基礎，根據圖象平移的性質，圖象大小不發生變化得出圖象與x軸的交點距離不變是解決問題的關鍵．