Question

19．如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2a，把矩形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE、BE，△ABE是等邊三角形．
（1）求點E到CD的距離．
（2）求$\frac{{S}_{△DCE}}{{S}_{△ABE}}$的值．

Answer 1

分析 （1）過E作EM⊥AB于M，交DC于N，根據矩形的性質得出DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°，因為AB=AE=BE=2a，所以BC的長可求出，即MN的長，進求出EN的長，即點E到CD的距離；
（2）根據三角形面積公式求出兩個三角形的面積，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖所示：
過E作EM⊥AB于M，交DC于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°，
∴MN=BC，EN⊥DC，
∵△AEB是等邊三角形，
∴∠EAC=∠BAC=30°，
∵AB=AE=BE=2a，
∴BC=$\frac{2a}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
即MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∵△ABE是等邊三角形，EM⊥AB，
∴AM=a，由勾股定理得：EM=$\sqrt{A{E}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴EN=EM-MN=$\sqrt{3}$a-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
即點E到CD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
（2）∵△DCE的面積是$\frac{1}{2}$×DC×EN=$\frac{1}{2}$×2a×（$\sqrt{3}$a-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²，
△ABE的面積是$\frac{1}{2}$AB×EM=$\frac{1}{2}$×2a×$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$a²，
∴$\frac{{S}_{△DCE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}}{{\sqrt{3}a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了勾股定理，折疊的性質，矩形的性質，等邊三角形的性質的應用，解此題的關鍵是求出兩個三角形的面積，題目比較典型，難度適中．