Question

（8分）已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A旋轉．

（1）發現：當E點旋轉到DA的延長線上時（如圖1），△ABE與△ADG的面積

關系是： ．

（2）引申：當正方形AEFG旋轉任意一個角度時（如圖2），△ABE與△ADG的面

積關系是：______________________．并證明你的結論．

證明：

（3）運用：已知△ABC，AB＝5cm，BC＝3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖3），則圖中陰影部分的面積和的最大值是 cm2．

 

Answer 1

（1）相等（2）相等（3）22．5

【解析】

試題分析：（1）由于當E點旋轉到DA的延長線上時，根據圖形和三角形的面積公式容易得到△ABE與△ADG的面積關系；

（2）相等．如圖延長BA到點P，過點E作EP⊥BP于點P；延長AD到點Q，過點G作GQ⊥AQ于點Q，由此得到∠P=∠Q=90°，而四邊形AGFE，ABCD均為正方形，根據正方形的性質可以得到AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，這樣得到∠1=∠3，然后就可以證明△APE≌△AQG，接著得到EP=GQ，然后利用三角形的面積公式即可證明題目的問題；

（3）根據（2）的幾個可以得到三個陰影部分的面積都和三角形ABC的面積相等，而AB=5cm，BC=3cm，若圖中陰影部分的面積和的最大值，則三角形ABC的面積最大，則其是直角三角形即可求解．

試題解析：（1）發現：當E點旋轉到DA的延長線上時（如圖1），△ABE與△ADG的面積關系是：相等 ．

（2）引申：當正方形AEFG旋轉任意一個角度時（如圖2），△ABE與△ADG的面積關系是：相等 ．

證明：

過點E作EM⊥BA交BA的延長線于M，過點G作GN⊥AD交AD的延長線于N

∴△EMA≌△GNA

∴EM=GD

∵S△ABE = AB．EM，S△ADG = AD．GN

AB=AD,EM=GD

∴

（3）運用：已知△ABC，AB＝5cm，BC＝3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖3），則圖中陰影部分的面積和的最大值是 22．5 cm2．

考點：旋轉變換，三角形的面積，三角形全等