Question

20．如圖，一次函數(shù)的圖象y=-x+4交y軸于點A，交x軸于點B，點C與點B關(guān)于y軸對稱，點P在射線AB（不包括A，B兩點）上運動，連接CP與y軸交于點D，連接BD，過P，D，B三點作⊙Q，與y軸的另一個交點為E，延長DQ交⊙Q于點F，連接EF，BF．
（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；
（2）試說明當(dāng)點P在射線AB（不包括A，B兩點）上運動時，△DEF始終是等腰直角三角形；
（3）請你探究：點P在運動過程中，說法存在這樣的⊙Q，其圓心恰好在x軸上？如果存在，求出此時點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令x和y等于0求得對應(yīng)的y和x的值，可求得A和點B的坐標(biāo)，然后依據(jù)軸對稱的性質(zhì)可求得點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點P在AB上時，連結(jié)EP．首先可證明△AOB為等腰直角三角形，然后再證明∠ADP=∠BPE，然后依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可證明∠DPE=∠DAP=45°，依據(jù)圓周角定理可求得∠DFE=45°，∠DEF=90°；當(dāng)點P在AB的延長線上時，連結(jié)BE．同理可證明∠DFE=45°．，∠DEF=90°；
（3）先證明△DOQ為等腰直角三角形，則設(shè)DQ=a，則QB=$\sqrt{2}$a，然后根據(jù)OQ+BQ=4，可求得a的值，然后可求得CD的解析式，接下來再求得直線AB與直線CD的交點坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）令x=0得：y=4，
∴點A的坐標(biāo)為（0，4）．
令y=0得：-x+4=0，解得：x=4，
∴點B的坐標(biāo)為（4，0）．
∵點C與點B關(guān)于y軸對稱，
∴點C（-4，0）．
（2）如圖1所示：連結(jié)EP．

∵點B的坐標(biāo)為（4，0），點A的坐標(biāo)為（0，4），
∴OA=OB．
∴∠OAB=45°．
∵點B與點C關(guān)于y軸對稱，
∴∠CDO=∠BDO．
又∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP．
又∵∠BDE=∠BPE，
∴∠ADP=∠BPE．
∵∠DAP+∠ADP=∠DPE+∠BPE=∠DPB，
∴∠DPE=∠DAP=45°．
∴∠DFE=45°．
∵DF為⊙Q的直徑，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形．
如圖2所示：連結(jié)BE．

∵點B與點C關(guān)于y軸對稱，
∴∠ADB=∠ADC．
又∵∠ADC=∠EDP，∠DEP=∠EBP，
∴∠ADB=∠EBP．
∵∠ADB+∠DAB=∠BEP+∠DBE，
∴∠DBE=∠DAB=45°．
∴∠DFE=45°．
∵DF為⊙Q的直徑，
∴∠DEF=90°．
∴△DEF為等腰直角三角形．
（3）如圖3所示：

由（2）可知△DEF為等腰直角三角形，則∠EDF=45°．
∵∠DOB=90°，∠DOQ=45°，
∴△DOQ為等腰直角三角形．
∴OD=OQ．
設(shè)DO=OQ=a，則QD=$\sqrt{2}$a，則QB=QD=$\sqrt{2}$a．
∵OQ+BQ=4，
∴a+$\sqrt{2}a$=4，解得：a=4$\sqrt{2}$-4．
設(shè)CD的解析式為y=kx+4$\sqrt{2}$-4．將點C的坐標(biāo)代入得：-4k+4$\sqrt{2}$-4=0，解得k=$\sqrt{2}$-1．
∴直線CD的解析式為y=（$\sqrt{2}$-1）x+4$\sqrt{2}$-4．
將y=-x+4與y=（$\sqrt{2}$-1）x+4$\sqrt{2}$-4聯(lián)立，解得x=4$\sqrt{2}$-4，y=8-4$\sqrt{2}$．
∴點P的坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$-4，8-4$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了圓周角定理及其推理，軸對稱圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及兩直線的交點坐標(biāo)等知識點，求得∠DBE或∠DPE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．