Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形紙片DOE的頂點(diǎn)O與邊AB的中點(diǎn)重合，OD交BC于點(diǎn)F，OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且∠DOE=∠B．

（1）證明△COF是等腰三角形，并求出CF的長(zhǎng)；

（2）將扇形紙片DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OD，OE與邊AC分別交于點(diǎn)M，N（如圖2），當(dāng)CM的長(zhǎng)是多少時(shí)，△OMN與△BCO相似？

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

∴OC=0B=OA=5．

∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．

∵∠DOE=∠B，

∴∠FOC=∠OCF．

∴FC=FO．

∴△COF是等腰三角形．

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥OC，垂足為H，如圖1，

∵FC=FO，F(xiàn)H⊥OC，

∴CH=OH=，∠CHF=90°．

∵∠HCF=∠B，∠CHF=∠BCA=90°，

∴△CHF∽△BCA．

∴=．

∵CH=，AB=10，BC=6，

∴CF=．

∴CF的長(zhǎng)為．

（2）①若△OMN∽△BCO，如圖2，

則有∠NMO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠NMO=∠B．

∵∠A=∠A，

∴△AOM∽△ACB．

∴=．

∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=8．

∵AO=5，AC=8，AB=10，

∴AM=．

∴CM=AC﹣AM=．

②若△OMN∽△BOC，如圖3，

則有∠MNO=∠OCB．

∵∠OCB=∠B，

∴∠MNO=∠B．

∵∠ACO=∠A，

∴△CON∽△ACB．

∴==．

∵BC=6，AB=10，AC=8，CO=5，

∴ON=，CN=．

過(guò)點(diǎn)M作MG⊥ON，垂足為G，如圖3，

∵∠MNO=∠B，∠MON=∠B，

∴∠MNO=∠MON．

∴MN=MO．

∵M(jìn)G⊥ON，即∠MGN=90°，

∴NG=OG=．

∵∠MNG=∠B，∠MGN=∠ACB=90°，

∴△MGN∽△ACB．

∴=．

∵GN=，BC=6，AB=10，

∴MN=．

∴CM=CN﹣MN=﹣=．

∴當(dāng)CM的長(zhǎng)是或時(shí)，△OMN與△BCO相似．