Question

11．如圖，分別以菱形BCED的對角線BE、CD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax²-6ax-16a（a＜0）過B、C兩點，與x軸的負半軸交于點A，且∠ACB=90°．點P是x軸上一動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作直線l垂直于x軸，交拋物線于點Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，試探究：
①填空：MQ=-$\frac{1}{4}$m²+m+8；（用含m的化簡式子表示，不寫過程）
②當m為何值時，四邊形CQBM的面積取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

分析 （1）設y=0，可求出x的值，進而得到點A和點B的坐標，再由△AOC∽△COB，根據相似三角形對應邊成比例得出OC²=OA•OB，可求出OC的長，從而點C的坐標可求出，然后把點C點坐標代入拋物線解析式可求出a，即可求出拋物線的解析式；
（2）①先由點C，D關于x軸對稱，得出D點坐標，再設直線BD的解析式為y=kx+b，把點B，點D的坐標代入，運用待定系數法求出直線BD的解析式，設Q（m，-$\frac{1}{4}$m²+m+4），M（m，$\frac{1}{2}$m-4），則QM為Q，M兩點縱坐標之差，問題得解；
②過點C作CN⊥QM于N．先由S_{四邊形CQBM}=S_△QMC+S_△QMB，將數值代入得到S_{四邊形CQBM}=-m²+4m+32，再根據二次函數的性質即可求出四邊形CQBM的面積的最大值．

解答 解：（1）令y=0，則ax²-6ax-16a=0，
∵a＜0，
∴x²-6x-16=0，
∴x₁=-2，x₂=8，
∴A（-2，0），B（8，0），
∴OA=2，OB=8．
∵∠ACB=90°，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB，
∴OC²=2×8=16，
又OC＞0，
∴OC=4，
∴C（0，4）．
把點C（0，4）代入y=ax²-6ax-16a，
得-16a=4，解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；

（2）①設直線BD的解析式為y=kx+b，
∵點C，D關于x軸對稱，
∴D（0，-4）．
把點B，點D的坐標代入上式，
得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4．
設Q（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），M（m，$\frac{1}{2}$m-4），
∴QM=（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）-（$\frac{1}{2}$m-4）=-$\frac{1}{4}$m²+m+8．
故答案為-$\frac{1}{4}$m²+m+8；
②如圖，過點C作CN⊥QM于N．
∵S_{四邊形CQBM}=S_△QMC+S_△QMB=$\frac{1}{2}$QM•CN+$\frac{1}{2}$QM•PB=$\frac{1}{2}$QM（CN+PB）=$\frac{1}{2}$QM（OP+PB）=$\frac{1}{2}$QM•OB，
∴S_{四邊形CQBM}=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+m+8）×8=-m²+4m+32=-（m-2）²+36，
∴當m等于2時，四邊形CQBM的面積取得最大值，且最大值為36．

點評 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，相似三角形的判定與性質，二次函數的性質、菱形的性質、四邊形的面積，運用數形結合及方程思想是解題的關鍵．