Question

如圖，已知：在⊙O中，直徑AB=4，點E是OA上任意一點，過E作弦CD⊥AB，點F是上一點，連接AF交CE于H，連接AC、CF、BD、OD。
（1）求證：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH·AF與AE·AB的數量關系，并證明你的猜想；
（3）探究：當點E位于何處時，S_△AEC：S_△BOD=1：4？并加以說明。

Answer 1

解：（1）∵直徑AB⊥CD， ∴ ∴∠F=∠ACH， 又∠CAH=∠FAC， ∴△ACH∽△AFC；
（2）AH·AF=AE·AB， 連接FB， ∵AB是直徑， ∴∠AFB=∠AEH=90°， 又∠EAH=∠FAB， ∴Rt△AEH∽Rt△AFB， ∴ ∴AH·AF=AE·AB；
（3）當（或）時，S△AEC∶S△BOD=1∶4， ∵直徑AB⊥CD， ∴CE=ED， ∵， ∴ ∵⊙O的半徑為2， ∴ ∴。