Question

8．如圖，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，點D是邊AB上的動點，過點D作DE∥BC，交邊AC于點E，點Q是線段DE上的點，且QE=2DQ，連接BQ并延長，交邊AC于點P．設(shè)BD=x，AP=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
（2）當(dāng)△PQE是等腰三角形時，求BD的長；
（3）連接CQ，當(dāng)∠CQB和∠CBD互補時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）過點D作DF∥AC，交BP于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3-x-y，DF=$\frac{3-x-y}{2}$，進而根據(jù)DF∥AC，求得y=$\frac{9-3x}{2x+3}$，定義域為：0＜x＜3；
（2）當(dāng)△PEQ為等腰三角形時，△PBC也為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)PB=BC時，②當(dāng)PC=BC=2時，③當(dāng)PC=PB時，分別求得BD的長即可；
（3）先根據(jù)已知條件判定四邊形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出$\frac{BD}{QE}$=$\frac{DQ}{EC}$，即2DQ²=x²，再根據(jù)DE∥BC，得出$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{3x}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{3}$，求得x的值即可．

解答 解：（1）如圖所示，過點D作DF∥AC，交BP于F，則
根據(jù)QE=2DQ，可得
$\frac{DF}{PE}$=$\frac{DQ}{QE}$=$\frac{1}{2}$，
又∵DE∥BC，
∴$\frac{EC}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$=1，
∴EC=BD=x，PE=3-x-y，DF=$\frac{3-x-y}{2}$，
∵DF∥AC，
∴$\frac{DF}{AP}$=$\frac{BD}{AB}$，即$\frac{3-x-y}{2y}$=$\frac{x}{3}$，
∴y=$\frac{9-3x}{2x+3}$，定義域為：0＜x＜3；

（2）∵DE∥BC，
∴△PEQ∽△PBC，
∴當(dāng)△PEQ為等腰三角形時，△PBC也為等腰三角形，
①當(dāng)PB=BC時，△ABC∽△BPC，
∴BC²=CP•AC，即4=3（3-y），
解得y=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{9-3x}{2x+3}$=$\frac{5}{3}$，
解得x=$\frac{12}{19}$=BD；
②當(dāng)PC=BC=2時，AP=y=1，
∴$\frac{9-3x}{2x+3}$=1，
解得x=$\frac{6}{5}$=BD；
③當(dāng)PC=PB時，點P與點A重合，不合題意；

（3）∵DE∥BC，
∴∠BDQ+∠CBD=180°，
又∵∠CQB和∠CBD互補，
∴∠CQB+∠CBD=180°，
∴∠CQB=∠BDQ，
∵BD=CE，
∴四邊形BCED是等腰梯形，
∴∠BDE=∠CED，
∴∠CQB=∠CED，
又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，
∴∠DQB=∠ECQ，
∴△BDQ∽△QEC，
∴$\frac{BD}{QE}$=$\frac{DQ}{EC}$，即2DQ²=x²，
∴DQ=$\frac{x}{\sqrt{2}}$，DE=$\frac{3x}{\sqrt{2}}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{3x}{2\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{3}$，
解得x=$\frac{54\sqrt{2}-24}{73}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，運用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行求解．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．