Question

11．已知拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-1，0），且經過直線y=x-2與x軸的交點B及與y軸的交點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線的頂點坐標；
（3）若點M在第四象限內的拋物線上，且tan∠MOC=1，求M點的坐標及四邊形OBMC面積．

Answer 1

分析 （1）先根據坐標軸上點的坐標特征確定B（2，0），C（0，-2），然后利用待定系數法確定二次函數解析式；
（2）把（1）的解析式y=x²-x-2配成頂點式得y=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，然后根據二次函數的性質確定頂點坐標；
（3）由于△OBC為等腰直角三角形，而OM⊥BC，則OM的解析式為y=-x，可設M（x，-x），把它代入二次函數解析式得x²-x-2=-x，解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$．則M點坐標為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），然后計算出OM=2，BC=2$\sqrt{2}$，再利用三角形面積公式計算四邊形OBMC的面積．

解答 解：（1）直線y=x-2與坐標軸的交點坐標分別為B（2，0），C（0，-2），以A、B、C三點的坐標分別代入拋物線y=ax²+bx+c中，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4+2b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$
∴所求拋物線的解析式是y=x²-x-2；
（2）∵y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴拋物線的頂點坐標為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
（3）∵因為點M在第四象限內的拋物線上，且tan∠MOC=1，
∴設M（x，-x），
因為點M在拋物線上，∴x²-x-2=-x．
解得x₁=$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$，
因點M在第四象限，取x=$\sqrt{2}$，∴M（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∵∠COM=45°，
∴∠ODC=90°，
即OM⊥BC，
得OM=2，BC=2$\sqrt{2}$，四邊形OBMC的面積為$\frac{1}{2}$OM•BC=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．