Question

7．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8cm，點D為AC一點，過點D作DE⊥AC交線段AB于點E，點M為EC的中點．
（1）求證：△BMD為等腰直角三角形；
（2）當AD為$\sqrt{2}$cm，求四邊形BEDM的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=$\frac{1}{2}$CE，DM=$\frac{1}{2}$CE，得出BM=DM，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)證出∠BMD=90°即可；
（2）過B作BF⊥DE交DE的延長線于F，推出△BEF是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{2}$AD=2cm，BF=3$\sqrt{2}$cm，CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm，根據(jù)三角形的面積即刻得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵DE⊥AC，
∴∠EDC=90°，
∵∠ABD=90°，點M為EC的中點，
∴DM=BM=CM，
∴∠MBC=∠BCM，∠MCD=∠MDC，
∵∠BME=∠MBC+∠BCM，∠DME=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=2∠ACB=90°，
∴△BMD為等腰直角三角形；

（2）過B作BF⊥DE交DE的延長線于F，
∵∠ADE=90°，∠A=45°，
∴∠FEB=∠AED=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵AD=$\sqrt{2}$cm，∴AE=$\sqrt{2}$AD=2cm，
∴BE=6cm，∴BF=3$\sqrt{2}$cm，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm，
∴DM=BM=5cm，
∴四邊形BEDM的面積=S_△BEM+S_△BDE=$\frac{1}{2}×$5×5+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=15.5cm²．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．