Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF．

（1）求證：D是BC的中點．

（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

 

【考點】矩形的判定；全等三角形的判定與性質．

【專題】綜合題；壓軸題．

【分析】（1）因為AF∥BC，E為AD的中點，即可根據AAS證明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；

（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四邊形AFDC是平行四邊形，又因為AD=CF，故可有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行判定．

【解答】（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE

∵E是AD的中點，

∴AE=DE．

∵∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC．

∴AF=DC，

∵AF=BD

∴BD=CD，

∴D是BC的中點；

 

（2）四邊形AFBD是矩形，

證明：∵AB=AC，D是BC的中點，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵AF=BD，AF∥BC，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∴四邊形AFBD是矩形．

【點評】本題考查矩形的判定和全等三角形的判定與性質．要熟知這些判定定理才會靈活運用，根據性質才能得到需要的相等關系．