Question

20．已知菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，A（1，1），B（6，1），AC=4$\sqrt{5}$，點(diǎn)P是對(duì)角線OAC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E（0，2），當(dāng)△EPD周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）

• A． （2，2）
• B． （2，$\frac{11}{2}$）
• C． （$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）
• D． （$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{8}$）

Answer 1

分析 點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，連接EB，交AC于點(diǎn)P，再得出EB即為EP+DP最短，解答即可．

解答 解：連接ED，如圖，
∵點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B，
∴DP=BP，
∴EB即為EP+DP最短，
即此時(shí)△EPD周長(zhǎng)最小，
連接BD交AC于O，
過(guò)O作OF⊥AB于F，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，AC⊥BD，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OF=$\frac{AO•OB}{AB}$=2，
∴AF=$\sqrt{A{O}^{2}-O{F}^{2}}$=4，
∵A（1，1），B（6，1），
∴AB∥x軸，
∴直線AB與x軸間的距離是1，
∴O點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2+1=3，
∴O（5，3），
∴直線AC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∵E（0，2），B（6，1），
∴直線BE的解析式為：y=-$\frac{1}{6}$x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{6}x+2}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}}\\{y=\frac{13}{8}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{8}$）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了軸對(duì)稱-最短距離問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)與方程組的關(guān)系，得出兩直線的解析式，求出其交點(diǎn)坐標(biāo)．