Question

15．在10×10的網格中，每個小正方形的邊長為1．
如圖1，等腰直角三角形ACB與ACD的頂點都在網格點上，點M，N分別在線段AD，AB上，且AM=BN，則CM+CN的最小值為4$\sqrt{2}$，
如圖2，等腰直角三角形ACB與ECD的頂點都在網格點上，點M，N分別在線段ED，AB上，且EM=BN，則CM+CN的最小值為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 ①先證明△BNC≌△AMC得△NCM是等腰直角三角形，即CM+CN的最小值，就是MN最小值的值，當點M，N分別在線段AD，AB的中點時，MN最小，求出此時的值即可；
②如圖3，作輔助線，構建與△ACB全等的△EGH，將CM與CN兩條線段利用相等線段，放在同一個三角形EGH中，利用作對稱點的方法找到最小值時點M的位置，即PC與DE的交點就是最小值時的點M，根據線段垂直平分線的性質可知：CM+CN=CM+MG=CM+PM=PC，這里要利用△ANC≌△HMG，證明CN=GM，所以CM+CN就是PC的長，利用勾股定理可計算得出．

解答 解：①如圖1，連接AC，
∵三角形ACB與ACD是等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAM=45°，AC=BC，
在△BNC和△AMC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BN=AM}\\{∠B=∠CAM}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BNC≌△AMC（SAS），
∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，
∴∠BCN+∠NCA=∠ACM+∠NCA，
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°，
∴△NCM是等腰直角三角形，
即點M，N分別在線段AD，AB上，且AM=BN時，
△NCM是等腰直角三角形，
因此CM+CN的最小值時，就是MN取最小值，
當點M，N分別在線段AD，AB的中點時，MN最小，
如圖2，∵M，N分別在線段AD，AB的中點，
∴MN是△ABD的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴CM=CN=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
此時，CM+CN=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
則CM+CN的最小值為4$\sqrt{2}$，
故答案為：4$\sqrt{2}$；
②如圖3，由已知得：AC=BC=4，EC=DC=2，
延長EC至G，使EG=AC=4，過G作GH⊥AG，交ED的延長線于H，連接GD并延長至P，使GD=DP，連接EP、CP，CP交ED于M，連接GM，
則△ACB≌△EGH，此時CM+MG為最小，
∴AC=GH，AB=EH，∠A=∠H=45°，
∵BN=EM，
∴AN=HM，
∴△ANC≌△HMG，
∴CN=GM，
∴CM+MG=CM+CN，
∵CD∥GH，EC=CG，
∴ED=DH，
∵EG=GH，
∴GP⊥EH，
∴EH是PG的中垂線，
∴EG=EP，MG=PM，
∴∠EGP=∠EPG=45°，
∴∠GEP=90°，
∴CM+MG=CM+PM=PC，
在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC=$\sqrt{P{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CM+CN=PC=2$\sqrt{5}$，
即則CM+CN的最小值為2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點評 本題是最短路線問題，考查了格點三角形、等腰直角三角形的性質和判定、軸對稱的性質，第2問比較復雜，想辦法通過輔助線將所求線段的和轉化到同一個三角形內，利用作對稱點的方法，才能使問題得以解決．