Question

13．如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個等腰直角三角形，則稱M，N是線段AB的和諧分割點．

（1）已知M，N是線段AB的和諧分割點，若AM=4，則MN=4$\sqrt{2}$或4或2$\sqrt{2}$；
（2）如圖2，在△ABC中，F是AB邊上的任一點，FG∥BC交AC于點G，D，E是線段BC的和諧分割點，且EC=BD，連結AD，AE，分別交FC于點M，N．
求證：M，N是線段FG的和諧分割點．
（3）如圖3，平移拋物線y=-2x²，分別得到拋物線L₁，L₂和L₃，拋物線L₁與x軸交于點A（x₁，0），M（x₂，0），拋物線L₂與x軸交于點M，N，拋物線L₃與x軸交于點N，B，拋物線L₁，L₂，L₃的頂點C，D，E的縱坐標分別記為y_C，y_D，y_E，已知點M，N是線段AB的和諧分割點切MN＞AM，試猜想y_C與y_D的數量關系，并證明你的結論．
（4）如圖4，在菱形ABCD中，∠ABC=β（β＜90°），點E、F分別在BC、CD上，AE，AF分別交BD于點M，N，若∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，當M，N是線段BD的和諧分割點時，直接寫出sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情形討論即可解決問題．
（2）想辦法證明FM=GN，MN²=FM²+NG²即可．
（3）結論：y_D=2y_C．如圖3中，由題意拋物線L₁的解析式為y=-2（x-x₁）（x-x₂），根據對稱軸為x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，求出y_C，因為點M，N是線段AB的和諧分割點切MN＞AM，所以MN=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（x₂-x₁），所以N[x₂+$\sqrt{2}$（x₂-x₁），0]，推出拋物線L₂的解析式為y=-2（x-x₂）[x-x₂-$\sqrt{2}$（x₂-x₁）]，根據對稱軸為x=$\frac{{2x}_{2}+\sqrt{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$，求出y_D即可解決問題．
（4）如圖4中，將△ABM繞點A旋轉得到△ADP，連接PN，首先證明△ANP≌△ANM，推出MN=PN，BM=PD，因為M，N是線段BD的和諧分割點，所以△PDN是等腰直角三角形，推出∠PDN=45°或90°，分別討論即可．

解答 解：（1）如圖1中，當MN是斜邊時，MN=4$\sqrt{2}$，當MN是直角邊時，MN=4或2$\sqrt{2}$，
故答案為4$\sqrt{2}$或4或2$\sqrt{2}$．

（2）如圖2中，由題意DE²=BD²+EC²，BD=EC，
∵FG∥BC，
∴$\frac{FM}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{AG}{AC}$=$\frac{NG}{EC}$，$\frac{MN}{ED}$=$\frac{AM}{AD}$=$\frac{AF}{AB}$，
∴FM=NG，$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{DE}$=$\frac{NG}{EC}$，設，$\frac{FM}{BD}$=$\frac{MN}{DE}$=$\frac{NG}{EC}$=$\frac{1}{k}$，
∴BD=k•FM，DE=k•MN，EC=k•NG，
∴k²•MN²=k²•BD²+k²•NG²，
∴MN²=FM²+GN²，
∴以FM，MN，GN為邊的三角形是一個等腰直角三角形．
∴M，N是線段FG的和諧分割點．

（3）結論：y_D=2y_C．理由如下，
如圖3中，由題意拋物線L₁的解析式為y=-2（x-x₁）（x-x₂），
∵對稱軸為x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
∴y_C=-2（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-x₁）（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-x₂）=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{2}$，
∵點M，N是線段AB的和諧分割點切MN＞AM，
∴MN=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（x₂-x₁），
∴N[x₂+$\sqrt{2}$（x₂-x₁），0]，
∴拋物線L₂的解析式為y=-2（x-x₂）[x-x₂-$\sqrt{2}$（x₂-x₁）]，
∵對稱軸為x=$\frac{{2x}_{2}+\sqrt{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$，∴y_D=-2[$\frac{2{x}_{2}+\sqrt{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$-x₂][$\frac{2{x}_{2}+\sqrt{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$-x₂-$\sqrt{2}$（x₂-x₁）=（x₂-x₁）²，
∴y_D=2y_C．

（4）如圖4中，將△ABM繞點A旋轉得到△ADP，連接PN．
∵∠MAN=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAM+∠DAN=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠DAN+∠PAD，
∴∠PAN=∠NAM，∵AN=AN，AM=AP，
∴△ANP≌△ANM，
∴MN=PN，BM=PD，
∵M，N是線段BD的和諧分割點，
∴△PDN是等腰直角三角形，
∴∠PDN=45°或90°，
當∠PDN=90°時，∠ADP=∠ADN=∠ABD=45°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABC=2∠ABD=90°，不合題意，
∴∠PDN=45°，
∴∠ADP=∠ADB=∠ABD=22.5°，
∠ABC=2∠ABD=45°，
∴β=45°，sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、平行線分線段成比例定理、菱形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數解決問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．