Question

17．如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED=∠C．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）求證：ED平分∠BEP．

Answer 1

分析 （1）連接OE，如圖，利用圓周角定理得到∠CED=90°，即∠CEO+∠OED=90°，加上∠C=∠CEO，∠PED=∠C．則∠PED+∠OED=90°，即∠OEP=90°，然后根據(jù)切線的性質定理可判定PE是⊙O的切線；
（2）利用圓周角定理得到∠AEB=90°，再利用AE∥CD得到∠EFD=90°，接著利用等角的余角相等可判斷∠FED=∠C，所以∠PED=∠FED．

解答 證明：（1）連接OE，如圖，
∵CD為直徑，
∴∠CED=90°，即∠CEO+∠OED=90°，
∵OC=OE，
∴∠C=∠CEO，
∴∠C+∠OED=90°，
∵∠PED=∠C．
∴∠PED+∠OED=90°，即∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE是⊙O的切線；
（2）∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
而AE∥CD，
∴∠EFD=90°，
∴∠FED+∠EDF=90°，
而∠C+∠EDC=90°，
∴∠FED=∠C，
∴∠PED=∠FED，
∴ED平分∠BEP．

點評 本題考查了切線的性質：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了圓周角定理．