Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，直線EF分別交兩直角邊AB、BC與E、F兩點，且EF∥AC，P是斜邊AC的中點，連接PE，PF，且AB=$\frac{6}{5}$，BC=$\frac{8}{5}$．
（1）當E、F均為兩直角邊的中點時，求證：四邊形EPFB是矩形，并求出此時EF的長；
（2）設EF的長度為x（x＞0），當∠EPF=∠A時，用含x的代數式表示EP的長；
（3）設△PEF的面積為S，則當EF為多少時，S有最大值，并求出該最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出四邊形EPFB是平行四邊形，再由∠B=90°得出四邊形EPFB是矩形，利用勾股定理求出EF．
（2）證明△APE∽△PEF，得出對應邊成比例，即可得出結果．
（3）作FH⊥AC交AC于點H，設EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面積求出EF及最大值，利用中位線定理即可求出EP的值．

解答 解：（1）如圖1，
∵E是AB的中點，P是AC的中點，
∴EP∥BC，且EP=$\frac{1}{2}$BC，
∵F是BC的中點，
∴EP∥BF，且EP=BF，
四邊形EPFB是平行四邊形，
∵∠B=90°，
∴四邊形EPFB是矩形，
（2）∵AB=$\frac{6}{5}$，BC=$\frac{8}{5}$．
∴BE=$\frac{3}{5}$，BF=$\frac{4}{5}$，
∴EF=$\sqrt{（\frac{3}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{2}}$=1．（2）∵EF∥AC，
∴∠APE=∠PEF，∵∠EPF=∠A，
∴△APE∽△PEF．
∴$\frac{AP}{EP}=\frac{EP}{EF}$，
∵AP=1，EF=x，
∴EP²=x，
∴EP=$\sqrt{x}$．
（3）如圖2，作FH⊥AC交AC于點H，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
設EF=x，則BF=$\frac{4}{5}$x，CF=$\frac{8}{5}$-$\frac{4}{5}$x，
∴FH=$\frac{3}{5}$CF=$\frac{24}{25}$-$\frac{12}{25}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$EF•FH=-$\frac{6}{25}$x²+$\frac{12}{25}$x=-$\frac{6}{25}$（x-1）²+$\frac{6}{25}$，
∴當x=1，即EF=1時，S有最大值為$\frac{6}{25}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質及二次函數的最值，解題的關鍵是運用三角形相似及三角函數求出線段之間的關系．