Question

如圖，P是矩形ABCD內的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是S₁、S₂、S₃、S₄，給出如下結論：
①S₁+S₂=S₃+S₄              ② S₂+S₄= S₁+ S₃ 
③若S₃="2" S₁，則S₄="2" S₂     ④若S₁= S₂，則P點在矩形的對角線上

其中正確的結論的序號是    ▲   （把所有正確結論的序號都填在橫線上）.

Answer 1

②④。

矩形的性質，相似
如圖，過點P分別作四個三角形的高，

∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，
∴此時兩三角形的高的和為AB，
∴S₁+S₃=S_矩形ABCD；
同理可得出S₂+S₄=S_矩形ABCD。
∴②S₂+S₄= S₁+ S₃正確，則①S₁+S₂=S₃+S₄錯誤。
若S₃="2" S₁，只能得出△APD與△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故結論③錯誤。
如圖，若S₁=S₂，則×PF×AD=×PE×AB，

∴△APD與△PBA高度之比為：PF：PE =AB：AD 。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四邊形AEPF是矩形，
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。連接AC。
∴PF：CD ="PE" ：BC=AP：AC，
即PF：CD ="AF" ：AD=AP：AC。
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴點A、P、C共線。∴P點在矩形的對角線上。
故結論④正確。
綜上所述，結論②和④正確。