Question

19．如圖，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當△PAB為直角三角形時，sin∠PAB=$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{7}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用分類討論，當∠ABP=90°時，如圖2，由對頂角的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的長，利用勾股定理可得AP的長；當∠APB=90°時，分兩種情況討論，情況一：如圖1，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=BO，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)可得AP的長；易得BP，利用勾股定理可得AP的長；情況二：如圖3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．

解答 解：當∠APB=90°時（如圖1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP為等邊三角形，
∴∠ABP=60°，
∴∠BAP=30°，
∴sin∠PAB=$\frac{1}{2}$；
當∠ABP=90°時（如圖2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP=$\frac{OB}{tan30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3$\sqrt{3}$，
在直角三角形ABP中，
AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
∴sin∠PAB=$\frac{PB}{AP}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$；
情況二：如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP為等邊三角形，
∴∠PAB=60°，
∴sin∠PAB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{7}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查了勾股定理，三角函數(shù)的定義，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．