Question

15．如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度數；
（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數量關系．
（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求∠A的度數．

Answer 1

分析 （1）運用三角形的內角和定理及角平分線的定義，首先求出∠1+∠2，進而求出∠BPC即可解決問題；
（2）根據三角形的外角性質分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據角平分線的性質可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據三角形內角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90°-$\frac{1}{2}$∠A，求出∠E=$\frac{1}{2}$∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況進行討論：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分別列出方程，求解即可．

解答 （1）解：∵∠A=80°．
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$×100°=130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，
∴∠QBC+∠QCB=$\frac{1}{2}$（∠MBC+∠NCB）
=$\frac{1}{2}$（360°-∠ABC-∠ACB）
=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A
∴∠Q=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=$\frac{1}{2}$∠A；
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠MBC
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠A+∠ACB）=90°．
如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況：
①∠EBQ=2∠E=90°，則∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，則∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，則90°-$\frac{1}{2}$∠A=∠A，解得∠A=60°；
④∠E=2∠Q，則$\frac{1}{2}$∠A=2（90°-$\frac{1}{2}$∠A），解得∠A=120°．
綜上所述，∠A的度數是90°或60°或120°．

點評 本題是三角形綜合題，考查了三角形內角和定理、外角的性質，角平分線定義等知識；靈活運用三角形的內角和定理、外角的性質進行分類討論是解題的關鍵．