Question

12．如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=4$\sqrt{5}$，以AB為直徑的⊙O分別交度BC，AC于點D、E．
（1）求AE；
（2）過D作DF⊥AC于F，請畫出圖形，說明DF是否是⊙O的切線，并寫出理由；
（3）延長FD，交AB的延長線于G，請畫出圖形．并求BG．

Answer 1

分析 （1）設AE=x，則CE=10-x，利用勾股定理即可列出方程求出x的值
（2）連接OD，可知OD是△ABC的中位線，從而可知OD∥AC，所以OD⊥DF
（3）由于BE∥GF，所以$\frac{AB}{BG}$=$\frac{AE}{EF}$，求出EF的長度后即可求出BG的長度．

解答 解：（1）設AE=x
∴CE=10-x，
∴由勾股定理可知：BE²=10²-x²，
BE²=（4$\sqrt{5}$）²-（10-x）²
∴10²-x²=（4$\sqrt{5}$）²-（10-x）²
∴解得：x=6，
∴AE=6，
（2）連接OD、AD
∵AO是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線
∴OD∥AC，
∴∠ODF+∠AFD=180°
∴∠ODF=90°，
∴DF是⊙O的切線，
（3）在Rt△ADC中，
cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
在Rt△CDF中，
cosC=$\frac{CF}{CD}$，
∴CF=2，
∵EC=AC-AE=4
∴EF=CE-CF=2，
∴AF=8，
∵BE∥GF
∴$\frac{AB}{BG}=\frac{AE}{EF}$
∴BG=$\frac{10}{3}$

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理，解方程，中位線的性質，銳角三角函數，相似三角形的性質，綜合程度較高，屬于中等題型．