Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，b），a，b滿足$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=0}\\{3a+5b=-2}\end{array}\right.$
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）點M從A點出發，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運動，運動時間為t秒，當△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2時，求此時t的值；
（3）設∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P，在點A、B在運動的過程中，∠P的大小是否會發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先解二元一次方程組$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=0}\\{3a+5b=-2}\end{array}\right.$，求得a和b的值，即可得出A、B兩點的坐標；
（2）需要分兩種情況進行討論：點M在AO上時，點M在AO延長線上時，分別根據△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2，列出關于t的方程，求得t的值即可；
（3）根據∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P，利用三角形外角性質，即可求得∠P與∠AOB之間的數量關系式．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=0}\\{3a+5b=-2}\end{array}\right.$，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴A（-4，0），B（0，2）；

（2）∵A（-4，0），B（0，2），
∴△AOB的面積=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
∵AM=1t=t，
①如圖1，當點M在AO上時，OM=4-t；
∴△MOB的面積=$\frac{1}{2}$×2×（4-t）=4-t，
∵△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2，
∴$\frac{4}{4-t}$=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{12}{5}$，
②如圖2，當點M在AO延長線上時，OM=t-4，
∴△MOB的面積=$\frac{1}{2}$×2×（t-4）=t-4，
∵△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2，
∴$\frac{4}{t-4}$=$\frac{5}{2}$，
∴t=$\frac{28}{5}$，
綜上所述，當△AOB的面積與△MOB的面積之比為5：2時，此時t的值為$\frac{12}{5}$或$\frac{28}{5}$秒；

（3）∠P的大小不發生變化．
如圖3，∵∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P，
∴∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠AOB）+$\frac{1}{2}$（∠BAO+∠AOB），
=$\frac{1}{2}$（∠ABO+∠AOB+∠BAO+∠AOB），
=$\frac{1}{2}$（180°+90°），
=135°，
∴在△PAB中，∠P=180°-（∠PAB+∠PBA）=180°-135°=45°．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了坐標與圖形的性質，角平分線的定義，三角形外角性質，三角形內角和定理以及解二元一次方程組的綜合應用，正確的作出輔助線進行分類討論是解題的關鍵．