Question

9．如圖，已知AB是半圓O直徑，C為半圓上一點，CD切半圓于C，AD⊥CD于D，以C為圓心，CD為半徑為⊙C，求證：AB是⊙C的切線．

Answer 1

分析 作CE⊥AB，連接AC、OC，由CD切半圓于C知OC⊥CD，結合AD⊥CD知AD∥OC，從而證得∠DAC=∠EAC，再證△DAC≌△EAC得CE=CD，即CE為⊙C的半徑，即可得證．

解答 證明：如圖，過點C作CE⊥AB于點E，連接AC、OC，

∵CD切半圓于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠OCA=∠DAC，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA=∠CDA=90°，
在△DAC和△EAC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠CEA}\\{∠CAD=∠CAE}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△EAC，
∴CE=CD，即CE為⊙C的半徑，
∴AB是⊙C的切線．

點評 本題主要考查切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質等，作垂直證半徑是解題的關鍵．