Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+6經過點A（-3，0）和點B（2，0），直線y=h（h為常數，且0＜h＜6）與BC交于點D，與y軸交于點E，與AC交于點F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AE，求h為何值時，△AEF的面積最大．
（3）已知一定點M（-2，0），問：是否存在這樣的直線y=h，使△BDM是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）由題意可得點E的坐標為（0，h），點F的坐標為（ $\frac{h-6}{2}$，h），根據S_△AEF=$\frac{1}{2}$•OE•FE=$\frac{1}{2}$•h•$\frac{6-h}{2}$=-$\frac{1}{4}$（h-3）²+$\frac{9}{4}$．利用二次函數的性質即可解決問題．
（3）分三種情形，分別列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+6經過點A（-3，0）和點B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+6=0}\\{4a+2b+6=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x²-x+6，得y=6，
∴點C的坐標為（0，6），
設經過點A和點C的直線的解析式為y=mx+n，則$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=6}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴經過點A和點C的直線的解析式為：y=2x+6，
∵點E在直線y=h上，
∴點E的坐標為（0，h），
∴OE=h，
∵點F在直線y=h上，
∴點F的縱坐標為h，
把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6，
解得x=$\frac{h-6}{2}$，
∴點F的坐標為（ $\frac{h-6}{2}$，h），
∴EF=$\frac{6-h}{2}$．
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$•OE•FE=$\frac{1}{2}$•h•$\frac{6-h}{2}$=-$\frac{1}{4}$（h-3）²+$\frac{9}{4}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0且0＜h＜6，
∴當h=3時，△AEF的面積最大，最大面積是 $\frac{9}{4}$．

（3）存在符合題意的直線y=h．
∵直線AC的解析式為y=2x+6，點F的坐標為（ $\frac{h-6}{2}$，h），
在△OFM中，OM=2，OF=$\sqrt{（\frac{h-6}{2}）^{2}+{h}^{2}}$，MF=$\sqrt{（\frac{h-6}{2}+2）^{2}+{h}^{2}}$，
①若OF=OM，則=$\sqrt{（\frac{h-6}{2}）^{2}+{h}^{2}}$=2，
整理，得5h²-12h+20=0，
∵△=（-12）²-4×5×20=-256＜0，
∴此方程無解，
∴OF=OM不成立．
②若OF=MF，則  $\sqrt{（\frac{h-6}{2}）^{2}+{h}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{h-6}{2}+2）^{2}+{h}^{2}}$，
解得h=4，
把y=h=4代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=4，
解得x₁=-2，x₂=1，
∵點G在第二象限，
∴點G的坐標為（-2，4）．
③若MF=OM，則  $\sqrt{（\frac{h-6}{2}+2）^{2}+{h}^{2}}$=2，
解得h₁=2，h₂=-$\frac{6}{5}$（不合題意，舍去），
把y=h₁=2代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=2．
解得x₁=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
∵點G在第二象限，
∴點G的坐標為（ $\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，2）．
綜上所述，存在這樣的直線y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，當h=4時，點G的坐標為（-2，4）；當h=2時，點G的坐標為（ $\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，2）．

點評 此題考查了待定系數法求函數的解析式、二次函數的性質、等腰三角形的性質、勾股定理一次函數的應用等知識，此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．