Question

12．已知，在等邊△ABC中，點D是AC上一點，在BD的延長線上取點Q，連接AQ、CQ，使∠AQC=120°．
（1）如圖1，求證：QB平分∠AQC；
（2）如圖2，在BC上取點E，使BE=CD，連接AE交BD于點P，點G為PQ的中點，若DG=PE，CQ=2，求BQ的長．

Answer 1

分析 （1）延長CQ到M，使AM=AQ，連接AM，根據已知條件得到△AMQ是等邊三角形，推出△ABQ≌△ACM，根據全等三角形的性質得到∠AQB=∠AMC=60°，盡快得到結論；
（2）連接CQ，根據已知條件得到△ABE≌△BCD，根據全等三角形的性質得到∠AEB=∠BDC，∠BAE=∠CBD，根據三角形的內角和得到∠DAQ=∠CBD，于是得到∠DAQ=∠BAE，推出∠BPE=∠CGD=60°，證得△GQC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到GQ=CG=2，PQ=2GQ=4，盡快得到結論．

解答 解：（1）證明：延長CQ到M，使AM=AQ，連接AM，
∵∠AQC=120°，
∴∠AQM=60°，
∵AM=AQ，
∴△AMQ是等邊三角形，
在△AMQ與△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAQ=∠CAM}\\{AQ=AM}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△ACM，
∴∠AQB=∠AMC=60°，
∴∠BQC=120°-60°=60°，
∴QB平分∠AQC；

（2）連接CQ，
在△ABE與△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠AEB=∠BDC，∠BAE=∠CBD，
∵∠DAQ+∠AQD+∠ADQ=180°，∠CBD+∠BCD+∠BDC=180°，
∵∠AQD=∠BCD，∠ADQ=∠BDC，
∴∠DAQ=∠CBD，
∴∠DAQ=∠BAE，
∴∠DAQ+∠CAE=∠BAE+CAE=60°，
∴∠APQ=180°-60°-60°=60°，
∴∠BPE=∠APQ=60°，
在△BPE與△CGD中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠BEP=∠CDG}\\{PE=DG}\end{array}\right.$，
∴∠BPE=∠CGD=60°，
∵$∠CQG=\frac{1}{2}∠AQC=60°$，
∴△GQC是等邊三角形，
∴GQ=CG=2，PQ=2GQ=4，
∵BP=CG=2，
∴BQ=BP+PQ=6．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，三角形的內角和，正確的作出輔助線是解題的關鍵．