Question

9．拋物線y=ax²-$\frac{3}{2}$x-2的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，已知點B的坐標為（4，0），
（1）求拋物線的解析式．
（2）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC面積的最大值，并求出此時M的坐標．

Answer 1

分析 （1）該函數解析式只有一個待定系數，只需將B點坐標代入解析式中即可．
（2）△MBC的面積可由S_△MBC=$\frac{1}{2}$BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M．

解答 解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：
0=16a-$\frac{3}{2}$×4-2，即：a=$\frac{1}{2}$；
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．


（2）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直線BC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-2；
設直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=$\frac{1}{2}$x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：
$\frac{1}{2}$x+b=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，即：x²-4x-4-2b=0，且△=0；
∴16-4×（-4-2b）=0，即b=-4；
∴直線l：y=$\frac{1}{2}$x-4．
由于S_△MBC=BC×h，當h最大（即點M到直線BC的距離最遠）時，△ABC的面積最大
所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\\{y=\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
即M（2，-3）．

點評 本題主要考查了二次函數綜合題，熟練掌握待定系數法求函數解析式，直角三角形的相關性質以及三角形的面積公式是理出思路的關鍵．