Question

如圖，△ABC中，AB=AC=BC，P為三角形內(nèi)一點，PA=2，PB=1，PC=

3

，△ABC的面積是

 

．

Answer 1

考點：旋轉的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：

分析：首先將△ABP以A為旋轉中心，逆時針旋轉60°得到△ACD，易得△APD是等邊三角形，△PCD是直角三角形，繼而求得∠APC=90°，由勾股定理，可求得AC的長，繼而求得答案．

解答：解：將△ABP以A為旋轉中心，逆時針旋轉60°得到△ACD，
∵AP=AD，∠PAD=60°，CD=PB=1，AD=PA=2，
∴△PAD是等邊三角形，
∴∠APD=60°，PD=PA=2，
∵PC=

3

，
∴PC²+CD²=PD²，
∴△PCD是直角三角形，且∠PCD=90°，
∴sin∠CPD=

CD

PD

=

1

2

，
∴∠CPD=30°，
∴∠APC=∠APD+∠CPD=90°，
∴AC=

PA2+PC2

=

7

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•ACsin60°=

1

2

×

7

×

7

×

3

2

=

7 3

4

．
故答案為：

7 3

4

．

點評：此題考查了旋轉的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系，注意數(shù)形結合思想的應用．