Question

如圖，在矩形ABCD中，連結BD，過點C作CF⊥BD于F，過點A作AE∥CF交BC延長線于E，交BD于M，CH⊥AE于H．
（1）求證：AG=CF；
（2）若M是GH中點，AG=8，求BD和CE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,矩形的性質

專題：壓軸題

分析：（1）根據全等三角形的判定得出△AGD≌△CFB，進而得出答案；
（2）首先根據已知得出△CHM∽△DGM，以及四邊形GFCH是矩形和△AGD∽△DCB，進而得出對應邊之間的關系，即可得出AD與DG之間的數量關系，進而求出即可．

解答：（1）證明：∵CF⊥BD，AE∥CF，
∴∠BFC=∠AGD=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
在△AGD和△CFB中，

∠AGD=∠CFB ∠1=∠2 AD=BC

，
∴△AGD≌△CFB（AAS），
∴AG=CF；

（2）解：由題意可得出：∠CFG=∠FGH=∠CHG=90°，
∴四邊形GFCH是矩形，
∴FC=GH，CH=FG，
∵CH∥BD，
∴△CHM∽△DGM，
∵GM=MH，
∴DM=CM，DG=CH，
∵△AGD≌△CFB，
∴DG=BF，
∴BF=FG=DG，
∵CH∥BG，
∴

CH

BG

=

HE

GE

=

1

2

，
∴GH=HE，
∵∠1=∠2，∠AGD=∠BCD，
∴△AGD∽△DCB，
∴

AD

BD

=

DG

BC

，
設AD=y，BF=FG=DG=x，
∴

y

3x

=

x

y

，
解得：y=

3

x，
∵AD²=DG²+AG²，
∴（

3

x）²=x²+8²，
解得：x=4

2

，
∴BD=3×4

2

=12

2

，
∵HE=8，CH=4

2

，
∴EC=

HE2+HE2

=4

6

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識，根據已知得出AD與DG之間的數量關系是解題關鍵．