Question

17．如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC．若AB=2，∠BCD=30°，則⊙O的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 連接OB，根據垂徑定理求出BE，由圓周角定理求出∠BOE=60°，解直角三角形求出OB即可．

解答 解：連接OB，如圖所示：
∵∠BCD=30°，
∴∠BOE=2∠BCD=60°，
∵直徑CD⊥弦AB，AB=2，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=1，∠OEB=90°，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即⊙O的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形；能根據垂徑定理求出BE和解直角三角形求出OB長是解此題的關鍵，難度適中．